第733章追不上的烏龜

連續統的基數不是阿列夫一。

阿基里斯回憶著之前那張紙上列舉著超圖靈機力量層次的圖靈度層級，表情疑惑地問道：

「可是，之前在那張圖表上，你不是在無限時間圖靈機的下方劃了一條線，並且寫下了實數連續統嗎？」

在那張圖靈度層級的圖表上，所有的超圖靈機都屬於可數無限的層次，唯有最末尾的實數連續統是不可數無限。

這樣看來，康托爾的連續統假設在這個世界里應該是成立的。

自然數集合的冪集，全體實數構成的集合，全體可數序數構成的集合，三者的基數都是不可數無限1。

「不，等等，我好像明白了！」

阿基里斯看了眼自己腦袋上頂著的那個日光圓環散發的白光，突然反應了過來。

「你在那張紙上寫的是實數連續統，而不是連續統。」

「你的意思是，在這個世界里，即使是所有的實數，依然無法填滿整條數軸？」

李恆點點頭道：

「不錯。」

「其實這也不難想到，第二次數學危機就是實無限和潛無限的混亂帶來的危機——更準確的，是無窮量和0之間的矛盾。」

「萊布尼茨就在自己的微積分中使用了實無窮，這也是貝克萊主教攻擊微積分理論基礎的主要方向。」

「從本體論上看，萊布尼茨將無窮量看作是萬物由此組成的不可再分的最的原子，它是絕對值於任何實數的實無窮。」

「柯西和魏爾斯特拉斯的極限概念，戴德金分割用有理數對連續的直線進行切割，康托爾用有理數序列表示十進位無限數的方法，這三者彼此都是等價的。」

「它們都定義了一個稠密、連續、完備的實數模型。」

「但是，以上這些理論都只屬於標準分析的範圍。」

「有標準分析，自然就有非標準分析。」

就像既有局限於平面上的歐氏幾何，也有擴展到高維空間的非歐幾何一樣。

在歐氏幾何中成立的結論，在非歐幾何中卻不一定成立。

兩者並非是簡單的誰對誰錯的問題。

作為一切推理證明前提的公理都改變了，後續得到的定理和結論自然就會完全不同。

歐氏幾何中不證自明的平行公理不再是整個理論的基礎，它只是非歐幾何中一種特殊的情況。

這種集合論公理的增加與刪改並非隨意而為的。

如無必要，勿增實體。

最好的集合論公理系統就是能以最少的公理得到最多的結論。

如果能從定義自然數的皮亞諾公理出發解決一切問題，自然就用不著多此一舉地去改動最基礎的公理。

但因為哥德爾不完備定理，一切數學體系都存在自身內部不能證明的命題。

在這種情況下，為了能研究這些不可證的問題，只能增加更多的公理，將系統擴張為更大的體系。

非標準分析繼承了萊布尼茨的想法，將實無限的思想從有限大的無理數擴展到那些真正無限的數。

任何科學理論都有它的研究對象，這些對象構成一個不空的集合，稱為論域。

『緊挨著1的下一個數是什麼？』

這個問題放在十進位自然數的範圍內，答案是2。

放在二進位自然數的範圍內，答案是10。

但擴展到有理數的範圍內，思想有限的人類就無法找到緊挨著1的下一個數。

顯而易見的，同一個問題的答案會因為研究範圍的不同而發生改變。

在此之前，李恆和阿基里斯討論的一切都在標準分析規定的實數範圍內。

實數域是最大的阿基米德有序域，具備阿基米德性質。

在數軸上截取任意的一段a，以及任意大的一段b，總能找到一個自然數n，使n條線段a的長度相加大於線段b。

實數域的定義域是，它表明實數軸的兩端無限延伸，是一個潛無限的區間。

在實數域中，並不包括實無窮大和實無窮。

非標準分析則是實數域R的擴展，引入了無窮數和無窮大數。

在非標準分析定義的數軸上，可以截取出一段長度為實無窮的線段。

這條線段的長度於任何給定的實數，因而也就不再具備阿基米德性質。

標準分析中的實數是Realnumber。

非標準分析定義的數集被稱為超實數集，hyperrealnumber。

這是一個比實數集更大的集合，將實數作為它的子集。

李恆伸手從阿基里斯的頭上摘下那個完美的圓環，毫不費力地就把這個容納著不可數無限力量的圓扯斷、拉直，做成了一條散發著白光的數軸。

這一幕看得阿基里斯心中一跳，原來這玩意就是用她之前見過的那條數軸做出來的。

不，現在的話，應該把這條數軸稱作是實數軸更合適。

她所在的這個世界顯然並不僅僅局限於標準分析定義的實數集的範圍。

即使是數量達到1的全體實數，依舊無法構成一條完美無缺，沒有空隙的數軸。

「回顧我們之前對芝諾悖論的解決方式。」

「長跑健將阿基里斯從數軸上的0點位置出發，第一步走出0.9，第二步走出0.09，如此無限累加，最終走出了無限步。」

「在經過無限次邁步之後，她從0走到了1，追上了芝諾那隻惱饒烏龜。」

「0.999…=1，兩者是標準分析中定義的同一個實數的不同寫法。」

「但是，如果並不局限於實數域的範圍，將這條數軸上分佈的數擴大到超實數域…」

到此處，李恆的目光投向阿基里斯肩膀上貼著的便簽。

在「一一對應、基數」，「有序排立序數」，「排中律」三張紙條以外，還有最後才貼上去的一張紙條。

「戴德金分割？」

阿基里斯順著他的目光歪了歪頭，看著自己肩膀上的這張紙條若有所思。

原來如此。

寫著排中律的紙條對應的是第三次數學危機后誕生的哥德爾不完備定理和停機問題，以及超圖靈機的力量層級。

從有限到可數無限，再到不可知不可論的不可數無限。

但這一切都局限於實數的範圍以內。

第四張便簽上的內容才是他們研究連續統需要面對的最後一個問題。

所有的實數真的構成了一條無縫的數軸嗎？

對有限的凡人而言，這個問題不會有什麼可驗證的結果。

如果全體實數依舊無法填滿數軸，那就表明連續統的基數比不可數無限1還要大，至少是2或者更大。

但實數集就已經是不可知不可論的存在，更別是比它還大的集合。

「戴德金分割…」

阿基里斯對著面前白色的數軸比劃著自己的手掌，做出一個像是切蛋糕的手勢。

所謂戴德金分割，是用有理數作為刀刃去切割一條連續無縫的實直線，把實數集切割成左右兩個互斥的集合。

當切割出的左集中沒有最大元素，右集中也沒有最元素，那就代表砍中了數軸上有理數之間的空隙。

這種空隙是一塊非0的無窮區域。

因為有理數定義為整數之比p\/q，所以它們之間的每一個空隙都是一條非零的線段。

這條線段里有無限多的代數無理數和超越無理數，這些點的集合構成了數軸上一段非0卻於任意給定實數的長度。

「再多給你一點提示。」

李恆打了個響指道：

「向著實數軸上扔一個理想的點狀飛鏢，它命中1的概率是0。」

「同樣的，它命中自然數、有理數、代數無理數這些數量為可數無限的數的概率顯然也是0。」

「不僅如此，就算是不可數無限也一樣。」

「舉個例子，劉維爾數集可以與實數集一一對應，它是一個不可數無限集合。」

「但劉維爾數集卻是一個零測集，也就是它在實數軸上佔據的區域為0。」

「有限數，可數無限，不可數無限。」

「明明彼此之間有著地之差，卻都在數軸上佔據著一塊大為0的區域。」

「點和線，這兩個概念之間的差距比常人想象中的還要大得多，完全不是區區降維打擊的程度。」

「從點的集合出發，自下而上地去思考數軸的連續性，這種方法是沒用的。」

「即使不可數無限數量的點組成的集合，也無法從沒有大的點跨越到有長度的線段。」

任一實數都對應數軸上唯一的一點，反之，數軸上的每一點也都唯一地代表一個實數。

於是，實數集R與數軸上的點有著一一對應關係。

但是，如何從沒有長度的點跨越到有長度的線段，這個過程其實是含糊不清的。

實數的數量是遠比有理數更多的不可數無限，它們在數軸上比稠密的有理數更稠密。

但是，僅僅是引入一個比可數無限更大的不可數無限，並不能完成從點到線段的跨越。

阿基里斯凝神思索，回憶著兩人從自然數世界開始一路走到現在的經歷，逐漸有了思路。

應該反過來思考，從連續無縫的直線為起點，研究直線的無限可分性。

用有理數切割直線，可以得到無數個長度非0的無窮線段。

這些線段的長度是潛在的無窮，它們內部隱藏著的無理數填補了數軸上有理數之間的空隙。

到這裡都沒有什麼不清晰的地方，用有理數切割直線得到的是無數條長度非0的無窮線段。

這其實更符合現實計算中微積分的思想。

有限的人類不可能精確計算無理數，所有的無理數都只是用有理數去近似逼近。

實際計算中處理的無理數其實不是一個常數，而是一個變數，對應於數軸上的一個區間。

問題在於，實數模型後續又將十進位無限數定義的無理數作為數軸上唯一確定的點，用無數的點去構成這些有著非0長度的無窮線段。

究竟如何才能從沒有長度的點跨越到有長度的線段，這一過程並不清晰明了。

如果，在戴德金分割的基礎上更進一步。

既然可以用有理數作為刀刃去切割直線，那為什麼不能用實數作為刀刃切割直線？

心中的想法漸漸成型，阿基里斯看向眼前白色數軸上數字1所在的位置。

「如果允許不為0的實無窮存在，數軸上就有無數條長度比任何實數都，卻依舊不為0的線段。」

「每一個無理數都是一個已完成的實無限序列，但是，這些無理數之間依舊還藏著空隙。」

「阿基里斯即使走過了無限步，它也依舊追不上那隻芝諾的烏龜！」

抬起的手掌終於斬下，目標正是數軸上的1。

存在實無窮，那麼0.99…≠1。

兩者之間還有一條於任何實數，卻依舊長度不為0的實無窮線段。

正是這些彷彿沒有大的點的線段填補了實數之間的空隙，就像無理數填補有理數之間的空隙一樣。

這些實無窮線段就是超實數所在的地方！

哐當！

耀眼的火花在眼前亮起，阿基里斯的手掌上傳來一陣劇烈的疼痛感，讓她低低驚叫了一聲。

「哎呀？！」

她想的應該沒問題的啊。

眼前的白色數軸完好無損，完全不像是之前在李恆手上時那樣，輕輕鬆鬆地就被他扯成了兩段。

李恆再次用一臉看傻子的表情看著她，嘴角帶著些許笑意道：

「雖然比以前聰明了一些，但果然還是個呆瓜。」

「忘了我們之前是怎麼抵達牛頓和萊布尼茨所在的無理數世界的么？」

阿基里斯眼神茫然了一瞬，緊接著臉頰微微泛紅，不太好意思地略微偏過了腦袋。

「嘿嘿，我不心忘了。」

沒辦法，她在這個混沌不可知的世界里數了億萬個紀元的數字，很多細節都混在那些枯燥無味的記憶里了。

現在想起來了，她當時是用胸前掛著的這台芝諾機殺死了畢達哥拉斯，破開了看不到盡頭的無窮世界，找到了隱藏在有理數之間的無理數。

更準確的法是，潛無窮世界。

芝諾機是超圖靈機，具備可數無限0的力量，有理數則是兩個有限大的整數之比，找到潛無窮世界自然不在話下。

但超實數卻是存在於兩個實數之間。

每一個實數都是一個已完成的無窮序列，是可數無限0級別的力量。

以此類推，想要找到實數之間的空隙，去往超實數所在的實無窮世界，至少需要更高一個層次的力量，也就是不可數無限1級別的力量。

生靈只能窺探到比自己高一個層次的世界，如果隔著兩個無限的層次，那裡就是不可知不可論的世界。

沒有能夠付諸實踐的力量，就只能被禁錮在原來的世界。

「超實數域有三個組成部分。

無窮δ，e，它的絕對值比任何實數都要。

有限數，它就是實數，任何給定的實數都是有限大。

無限大數，，這裡e=1\/，它比任何實數都要大。」

「引入了無限大數和無窮數之後，在超實數域中，0.99…和1表示的不是數軸上的同一個數。」

「兩者之間還存在著無窮多個與它們相差一個無窮量的超實數，類似於1-e，1-e^2等等。」

「但這些無限大數和無限數只是最基礎的部分。」

「之前我們在康托爾的精神病院里都能用冪集公理從0開始一路向上無限跳躍，你不會覺得只是用實數切割一次數軸就到盡頭了吧？」

啊，早就該猜到的了。

阿基里斯對此毫不意外，這可沒有什麼事不過三的法。

既然能切割一次、兩次，那自然就可以繼續切割無數次。

從點到線，從離散到連續，從靜止到運動。

兩者之間的差距遠比她最初以為的還要大得多。

在這個世界里，連續統的基數遠不只是1或者2。

不過，這樣正好，越遠越好。

真理無窮，如果他們兩個的研究也永遠不會走到盡頭就好了。