第一百三十八章 蛋糕
這道題目看起來挺新穎的，其實不算難。
伊誠提筆作答：
首先從題目知道：
假設地主為集合C
那麼C的牌數為10，可以寫作集合C{C1、C2……C10}
A的集合為8，同樣A{A1、A2……A8}
……
然後C和A都有一個順子：
可以先設至少有C1+1=C2，C2+1=C3……
同樣A1+1=A2、A2+1=A3……
B說他只有一個對子，並且B沒有順子。
可以設定B1=B2，並且沒有連續5個數之間的差值互相為1.
又幾個集合中的元素分別來自於1-13的兩組數當中，它們之間是互斥的關係。
即黑桃1如果在A中出現，必然不會在B和C中出現。
……
伊誠一路寫下來，發現這題是個體力活。
這道題難的不是前面的部分，而在於後面的博弈。
伊誠把前半部分寫完。
然後再繼續做拆分整理：
A可以拆分成兩個集合：順子集合和非順子集合，
B拆分為對子集合和單牌集合，
C拆分為順子集合和非順集合，
由C先出牌。
那麼就會存在集合C順子比集合A順子大或者小的兩種情況……
然後大致可以得到幾種模型：
……
伊誠一邊做題一邊搖著頭。
可以用昨天狼人殺的納什均衡來做處理，也可以用最笨的窮舉法來做。
也就是說，這題註定拉不開分差了。
數量級並不大，其他人通過窮舉，2個小時之內肯定能搞定。
哎。
難受啊難受。
伊誠在心底里嘆息著。
最後根據不同的牌型，整理出對應的概率模型，並且分別討論一番。
伊誠這題就算結束了。
ok。
21分到手。
但是這題計算量大，浪費了他差不多一個小時的時間。
……
伊誠繼續前進，來到第三題。
【在生日派對上，有一群小夥伴，作為壽星得為他們切蛋糕，蛋糕得保證切得每一塊都是同樣體積同樣奶油，這樣才不會有小朋友不開心。
s是xy平面上的一個凸集。
凸集：實數R（或複數C上）向量空間中，集合S稱為凸集，如果S中任兩點的連線內的點都在集合S內。
對歐氏空間，直觀上，凸集就是凸的。在一維空間中，凸集是單點或一條不間斷的線（包括直線、射線、線段）；二、三維空間中的凸集就是直觀上凸的圖形。】
題目中特地對凸集做了解釋。
蛋糕是明顯的凸集，可以用肉眼就能看出來的。
伊誠對此沒有任何疑問。
他繼續往下審題——
【假設蛋糕的高度為h，hamp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;gt;0，定義在xyz三維空間中一個點集C={（x，y，z）|（x，y，z∈S，且0小於等於z小於等於h）}
那麼C為以S為基準的一個高度為h的蛋糕。
蛋糕的高度是一致的，假定C除了底面之外的其他表面均勻地塗上了奶油。
那麼，講一個平面s劃分成k個集合，如果這k個集合的面積想通，且所佔的原s的周邊長度也相同，則稱其為s的一個k完美劃分。
如果它的所有劃分線都是從一個點出發的線段，則稱該劃分為一個星狀完美劃分。
試證明：
任何一個平面凸集均存在3星狀完美劃分。】
卧槽，一個切蛋糕，你羅里吧嗦說這麼多幹嘛？
伊誠對出題人的語文水平表示懷疑。
他已經是lv2的文學學習水平，加上8期中國詩詞大會擂主，他現在有資格吐槽。
簡單來說，比如一個圓，在其中劃分一個米字，變成6等分，那麼這個米字型劃分就被稱為6星完美劃分。
現在只需要證明的是不管任何形狀，只要是凸集，就能3星完美劃分。
伊誠開始在草稿上進行論證。
但是工作進行了半個小時，他突然發現——
你妹的這題看起來簡單，實際上卻非常難。
為什麼呢？
因為在證明這個題目之前，需要連續證明7個引理。
這比刺殺雅典娜只差了5宮而已。
伊誠心想，你們就算是7個葫蘆娃，老子也要把你們打死。
大娃是：
證明：對於凸集S，存在一個邊的3等長劃分：S1、S2、S3，滿足S1、S2、S3圍成的面積均小於S面積的1/3。
二娃：
證明：對於凸集S，S1、S2、S3是S的邊的一個等長劃分，那麼S1、S2、S3所分別圍成的面積中至多只有一個不小於S面積的1/3
……
七娃：如果將S的邊劃分成連續長度相同的三段，這三段分別包圍的面積若都不超過S面積的1/3，那麼命題得證——任何一個平面凸集均存在3星完美劃分。
伊誠只覺得渾身燥熱，大汗淋漓。
一路祭出各種法寶，終於把7個葫蘆娃一一降服。
最後爺爺就是來送的。
他順利收下了爺爺。
當他抬起頭來的時候，時間已經到了11點半。
沒有想到最後這道題這麼耗時。
不愧是中國奧數競賽的題目。
3道題目，就像是過了大半生一樣。
卷面上，伊誠密密麻麻寫滿了字，包括草稿紙都寫得滿滿當當的。
他做完題目，稍微用手按壓着太陽穴，讓大腦清醒一些。
過了兩分鐘，開始檢查答案。
……
「嚶嚶嚶，孟老師，我對不起您。」
考完試之後，孟老師來接眾人。
還沒回酒店，幾個選手就被考哭了。
武青青一把鼻涕一把淚地說到，「我辜負了您的尊尊教誨，我不配去清北。」
「我也是，我是個垃圾……」江文博哭喪著臉，「我連第一題都沒什麼把握，第二題窮舉到一半時間就沒了……」
「你知道嗎，你最大的問題就在於思想不正，只想着泡妞。」夏文雨用手指戳他的頭。
江文博立刻紅了臉，不敢看李安若。
「都怪李安若，前天帶着我們玩狼人殺，把腦子玩壞了。」
「哎，你這可就怪不得她了。」伊誠站出來回應道，「要知道今天的鬥地主也要運用納什均衡的。」
「納什……那是什麼鬼？」
眾人一臉沮喪。
老孟從眾人的表情和剛才的對話中有了一定的判斷。
伊誠這個小夥子資質很高，這次的題目肯定難不倒他，看他剛才說得頭頭是道，應該都答出來了。
另外顏姿琦剛才一語不發，面色有點凝重，恐怕有點麻煩。
其他的幾個，年紀最小的方銘宇一臉沉默，不知道思考什麼，也許有一定把握。
……
武青青哭天喊地的，跟江文博有得一拼，這兩個人估計只能拿一些過程分，想拿到國一估計無望。
更別說是進國家集訓隊出戰明年的IMO了。
「孟老師，您說得對，我只配上江城大學這種二流。」武青青擦掉臉上的眼淚，目露凶光，「我回去以後就改志願。」
呃……
「不至於不至於。」老孟伸手拍了拍武青青的後腦，「回去再說。」